Question

正方形的四個頂點分別是（2，2）、（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2），P點在正方形內(nèi)，且P點到各邊的距離的平方和為20，并與直線l：

3

x+y=2+

3

的距離最短，則P點坐標(biāo)是（　�。�

• A．(

  2

  2

  ，

  6

  2

  )
• B．（1，1）
• C．(

  6

  2

  ，

  2

  2

  )
• D．（-

  1

  2

  ，

  7

  2

  ）

Answer 1

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，利用P點在正方形內(nèi)，且P點到各邊的距離的平方和為20，求出P的軌跡方程，然后通過軌跡方程與直線l的關(guān)系，求出P點坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)P（x，y），因為正方形的四個頂點分別是（2，2）、（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2），
P點在正方形內(nèi)，且P點到各邊的距離的平方和為20，
所以（x-2）²+（x+2）²+（y-2）²+（y+2）²=20，即x²+y²=2，
P的軌跡方程是以（0，0）為圓心，以

2

為半徑的圓，
P的軌跡上的點與直線l：

3

x+y=2+

3

的距離最短，如圖，
就是OP與圓的圖形在第一象限內(nèi)的交點，并且OP⊥l；
OP的斜率為：

3

3

，OP的方程為：y=

3

3

x，
所以

y= 3 3 x x2+y2=2

，解得

x= 6 2 y= 2 2

或

x=- 6 2 y=- 2 2

（舍去）．
所求P點坐標(biāo)是(

6

2

，

2

2

)．
故選C．

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．