Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

（3）若，使成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是；（2）；（3）

【解析】

試題分析：【解析】
由已知函數(shù)的定義域均為,且． 1分

（1）函數(shù),

當且時,;當時,．

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是． 4分

（2）因f（x）在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當時，．

又，

故當，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 7分

（3）命題“若使成立”等價于

“當時，有”．

由（2），當時，，．

問題等價于：“當時，有”． 9分

當時，由（2），在上為減函數(shù)，

則=，故．

當時，由于在上為增函數(shù)，

故的值域為，即．

（i）若，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，=，不合題意． 11分

（ii）若，即，由的單調(diào)性和值域知，

唯一，使，且滿足：

當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；

所以，=，．

所以，，與矛盾，不合題意．

綜上，得． 14分

考點：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題