Question

在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．求點(diǎn)P到平面ABD₁的距離；

Answer 1

【答案】分析：方法一：如果直接研究三棱錐P-ABD₁的體積，無論怎樣“轉(zhuǎn)換”都不易求可利用等體積法進(jìn)行求解，在DD₁上取一點(diǎn)Q，使DD₁=4DQ，根據(jù)V_P-ABD1=V_Q-ABD1建立等式關(guān)系，求出所求即可；
方法二：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面ABD₁的法向量，然后求出在面ABD₁的法向量上的射影即可；
方法三：“補(bǔ)齊”截面ABD₁即正方體的對(duì)角面ABC₁D₁，過P作PE⊥BC₁于E，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PE的長度即為點(diǎn)P到平面ABD₁的距離，最后求出PE的長即可．
解答：解：方法一：“等積轉(zhuǎn)換”．
如果直接研究三棱錐P-ABD₁的體積，無論怎樣“轉(zhuǎn)換”都不易求；
在DD₁上取一點(diǎn)Q，使DD₁=4DQ，則PQ∥面ABD₁，如圖1；故V_P-ABD1=V_Q-ABD1，
記P到面ABD₁的距離為h，則Q到面ABD₁的距離為h，由V_Q-ABD1=V_B-QAD1得：h=；
方法二：以D為原點(diǎn)建系，如圖2，A（4，0，0），B（4，4，0），D₁（0，0，4），
P（0，4，1），不難求出面ABD₁的法向量=（1，0，1），=（4，0，-1），h==；
方法三：“補(bǔ)齊”截面ABD₁即正方體的對(duì)角面ABC₁D₁，過P作PE⊥BC₁于E，如圖3，
∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD₁，∴PE的長度即為點(diǎn)P到平面ABD₁的距離，易求PE=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離的求解，以及等體積法的應(yīng)用等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題的能力．