Question

已知x=-是函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x+x²的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=ln（x+1）-x+x²，
∴f′（x）=-1+ax
∵x=-是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
∴f′（-）=0，
∴2-1-=0，故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=+2x-1
從而曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率k=，又f（1）=ln2，
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x+ln2-．
分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，再利用x=-是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，即f′（-）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=+2x-1，從而可求y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率k=，進(jìn)而可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有一定的綜合性．