Question

數(shù)列中大量滲透了函數(shù)思想，那么數(shù)列與函數(shù)有何內(nèi)在聯(lián)系？

Answer 1

答案：
解析：

導思：數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式．數(shù)列與函數(shù)之間的關系是一般與特殊的關系． 　　探究：(1)對于公差不為零的等差數(shù)列{an}來說，它的通項是關于n的一次函數(shù)，從圖象上看，表示這個數(shù)列各點均勻地分布在一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象上；它的前n項和Sn是關于n的無常數(shù)項的二次函數(shù)，因此也是關于n的一次函數(shù)．若在等差數(shù)列中，(p，q是非零常數(shù))，則p，q必然滿足關系p＋2q＝0．這是因為an是關于n的一次函數(shù)，故pn＋q與n－1或2n－1是同類因式．由待定系數(shù)法，知p＋q＝0(舍去)或p＋2q＝0． 　　而許多關于項的問題，可以轉化為關于點的問題．如：等差數(shù)列{an}中，ap＝q，aq＝p(p≠q)，如何求ap+q．由于等差數(shù)列的通項an是關于n的一次函數(shù)，故三點(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap+q)共線，由斜率相等，得，可得ap+q＝0． 　　(2)在數(shù)列{an}中，如果an＜an+1對n∈N*都成立，那么稱{an}是遞增數(shù)列；如果an＞an+1對n∈N*都成立，那么稱{an}是遞減數(shù)列．數(shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來刻畫．例如，d≠0的等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性相同，當d＞0時，那么這個等差數(shù)列是遞增數(shù)列，當d＜0時，那么這個等差數(shù)列是遞減數(shù)列．在等差數(shù)列中其前n項和Sn是關于n的無常數(shù)項的二次函數(shù)，所以可以根據(jù)二次函數(shù)的特點找出前n項和Sn的最大值和最小值，這與其頂點坐標有密切關系，但是同時要注意其定義域的范圍． 　　總之，運用函數(shù)觀點研究等差數(shù)列或者其他數(shù)列的問題都是很方便的，可以更深刻地認識數(shù)列的本質(zhì)，同時又能深化對函數(shù)概念的理解．