Question

已知過點(diǎn)A（-4，0）的動(dòng)直線l與拋物線C：x²=2py（p＞0）相交于B、C兩點(diǎn)．當(dāng)l的斜率是．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出B，C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)求得y₂=4y₁，最后聯(lián)立方程求得y₁，y₂和p，則拋物線的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程，AB中點(diǎn)坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而求得x，利用直線方程求得y，進(jìn)而可表示出AB的中垂線的方程，求得其在y軸上的截距，根據(jù)k的范圍確定b的范圍．
解答：解：（1）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由已知k₁=時(shí)，l方程為y=（x+4）即x=2y-4．
由得2y²-（8+p）y+8=0
①②∴
又∵，∴y₂=4y₁③
由①②③及p＞0得：y₁=1，y₂=4，p=2，即拋物線方程為：x²=4y．

（2）設(shè)l：y=k（x+4），BC中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
由得：x²-4kx-16k=0④
∴．
∴BC的中垂線方程為
∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k²+4k+2=2（k+1）²
對(duì)于方程④由△=16k²+64k＞0得：k＞0或k＜-4．
∴b∈（2，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解決此類問題要充分發(fā)揮判別式和韋達(dá)定理在解題中的作用．