【題目】若函數(shù)滿足:對任意實數(shù)以及定義中任意兩數(shù)、(),恒有,則稱是下凸函數(shù).
(1)證明:函數(shù)是下凸函數(shù);
(2)判斷是不是下凸函數(shù),并說明理由;
(3)若是定義在上的下凸函數(shù),常數(shù),滿足:,,且,求證:,并求在上的解析式.
【答案】(1)證明見解析; (2) 不是;理由見解析; (3)證明見解析;
【解析】
(1)根據(jù)定義,代入不等式作差證明不等式成立,即可證明函數(shù)是下凸函數(shù).
(2)利用特殊值法, 令代入后檢驗不等式左右的大小,即可判斷不等式是否成立.
(3)根據(jù)極限定義,可求得當(dāng)時的極限值;結(jié)合不等式,即可求得的值.進而利用賦值法求得上的解析式.
(1)證明:對任意實數(shù)、(),
有
因為,實數(shù)、()
所以
即
所以函數(shù)是下凸函數(shù)
(2)不是下凸函數(shù)
理由如下:
則不等式左邊
不等式右邊
因為,
所以,即
即
所以
與定義矛盾
所以不是下凸函數(shù)
(3)證明:因為是定義在上的下凸函數(shù),常數(shù),滿足:,,且
所以當(dāng)時,
而對于任意,
所以
而當(dāng)時,由 可得
綜上可知,即
得證.
根據(jù)下凸函數(shù)滿足,
令
代入可得
而
所以,
又因為,
所以當(dāng)時
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進行勘測,迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點、開口向下,所在的拋物線以為頂點、開口向上,以過山腳(點)的水平線為軸,過山頂(點)的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點)處恰好有一小塊平地,可以用來建造索道站,索道的起點選擇在山腳水平線上的點處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時,索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺階,臺階每級的高度為20厘米,長度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級臺階的兩端點在坡面上(見圖).試求出前三級臺階的長度(精確到厘米),并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳,簡述理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,.
(1)求證:平面;
(2)點在線段上運動,設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為(),試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查高三年級學(xué)生的身高情況,按隨機抽樣的方法抽取100名學(xué)生,得到男生身高情況的頻率分布直方圖(圖(1))和女生身高情況的頻率分布直方圖(圖(2)).已知圖(1)中身高在的男生人數(shù)有16人.
(1)試問在抽取的學(xué)生中,男,女生各有多少人?
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下列的列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分之幾)的把握認為“身高與性別有關(guān)”?
總計 | |||
男生身高 | |||
女生身高 | |||
總計 |
(3)在上述100名學(xué)生中,從身高在之間的男生和身高在之間的女生中間按男、女性別分層抽樣的方法,抽出6人,從這6人中選派2人當(dāng)旗手,求2人中恰好有一名女生的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合是實數(shù)集的子集,如果正實數(shù)滿足:對任意都存在使得則稱為集合的一個“跨度”,已知三個命題:
(1)若為集合的“跨度”,則也是集合的“跨度”;
(2)集合的“跨度”的最大值是4;
(3)是集合的“跨度”.
這三個命題中正確的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(4,0)、B(1,0),動點M滿足|AM|=2|BM|.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)直線l:x+y=4,點N∈l,過N作軌跡C的切線,切點為T,求NT取最小時的切線方程.
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