Question

已知函數(shù)f（x）=1nx-ax．
（Ⅰ）若f（x）的最大值為1，求a的值；
（Ⅱ）設l是函數(shù)f（x）=1nx-ax圖象上任意一點的切線，證明：函數(shù)f（x）=1nx-ax的圖象除該點外恒在直線l的下方．

Answer 1

（Ⅰ）易知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′(x)=

1

x

-a，①當a≤0時，f^′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）單調遞增，因此函數(shù)在（0，+∞）上無最大值，不符合題意，應舍去；
②當a＞0時，f′(x)=

-a(x- 1 a )

x

，令f^′（x）=0，則x=

1

a

．
當0＜x＜

1

a

時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；當x＞

1

a

時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減．
∴當x=

1

a

時，函數(shù)f（x）取得極大值，也即最大值．
∴f(

1

a

)=1，即ln

1

a

-1=1，解得a=

1

e2

．
（Ⅱ）設P（x₀，lnx₀-ax₀）是曲線f（x）=lnx-ax的圖象上的任意一點，則過點P的切線的斜率為

1

x0

-a，
∴切線為y-(lnx0-ax0)=(

1

x0-a

)(x-x0)，化為y=g（x）=(

1

x0

-a)x-1+lnx0，
令h（x）=g（x）-f（x）=(

1

x0

-a)x-1+lnx0-（lnx-ax），
∴h^′（x）=

1

x0

-a-

1

x

+a=

x-x0

x0x

，令h^′（x）=0，解得x=x₀．
當0＜x＜x₀時，h^′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調遞減；當x＞x₀時，h^′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調遞增．
因此當x=x₀時，函數(shù)h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（x₀）=(

1

x0

-a)x0-1+lnx0-lnx0+ax0=0，
∴g（x）≥f（x），函數(shù)f（x）=1nx-ax的圖象除切點外恒在直線l的下方．