Question

設(shè)a_n是(

x

+3)n（n≥2且n∈N）的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，則

2009

2008

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32009

a2009

)的值為（　　）

A．18

B．17

C．-18

D．19

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的冪指數(shù)為1求出a_n，再求出

3n

an

，據(jù)其特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的和．

解答：解：∵a_n是(

x

+3)n（n≥2且n∈N）的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，再由 (

x

+3)n=(3+

x

)n，
可得展開(kāi)式通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•3^n-r•x

r

2

，令 

r

2

=1，解得r=2，即 a_n=3^n-2•

C

2 n

，
∴

3n

an

=

9

C 2 n

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

）．
∴

2009

2008

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32009

a2009

)=

2009

2008

•18•（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=

2009

2008

（

1

2

-

1

2009

）=18，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)法，屬于中檔題．