若奇函數(shù)f（x）在其定義域R上是減函數(shù)，且對任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，則a的最大值是
-3
-3
．
分析：根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)且在R上是減函數(shù)，將原不等式變形為cos2x+2sinx≥a恒成立，結合二倍角的三角函數(shù)公式和二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的方法，即可得到a的最大值．
解答：解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤-f（sinx-a）恒成立
又∵f（x）是奇函數(shù)，-f（sinx-a）=f（-sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（-sinx+a）在R上恒成立
∵函數(shù)f（x）在其定義域R上是減函數(shù)，
∴cos2x+sinx≥-sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1-2sin2x，∴cos2x+2sinx=-2sin2x+2sinx+1，
當sinx=-1時cos2x+2sinx有最小值-3．
因此a≤-3，a的最大值是-3
故答案為：-3
點評：本題在已知函數(shù)f（x）的單調(diào)性的奇偶性的前提下，解決一個不等式恒成立的問題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、二倍角的三角函數(shù)公式和二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個命題中：
（1）如果兩個函數(shù)都是增函數(shù)，那么這兩函數(shù)的積運算所得函數(shù)為增函數(shù)；
（2）奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個；
（4）若函數(shù)的最小值是a，最大值為b，則其值域為[a，b]．
其中假命題的序號為
（1）、（3）、（4）
（1）、（3）、（4）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•閘北區(qū)一模）有以下命題：
（1）若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）的值域是{0}；
（2）若f（x）是偶函數(shù)，則f（|x|）=f（x）；
（3）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)非單調(diào)，則f（x）不存在反函數(shù)；
（4）若函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f-1（x）不完全相同，且有公共點P，則點P必在直線y=x上．
其中正確命題的序號為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

若奇函數(shù)f（x）在其定義域R上是減函數(shù)，且對任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，則a的最大值是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年遼寧省葫蘆島一中高三（下）5月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

若奇函數(shù)f（x）在其定義域R上是減函數(shù)，且對任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，則a的最大值是    ．

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