精英家教網(wǎng)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點(diǎn)E，
求證：（1）BD1⊥平面ACB1；
（2）BE=
12
ED1．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積
BD1
•
AC
=0，
BD1
• 
AB1
=0，從而證明BD1⊥平面ACB1；
（2）設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點(diǎn)M，推出2
BM
=
B1D1
．設(shè)
OB
=b，
OM
=m，
OB1
=b1，
OD1
=d1，求得點(diǎn)E分線段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，點(diǎn)E是D1B與平面ACB1之交點(diǎn)，此交點(diǎn)E將D1B分成2與1之比，即BE=
1
2
ED1．
解答：證明：（1）先證明BD1⊥AC．
∵
BD1
=
BC
+
CD
+
DD1
，
AC
=
AB
+
BC
，
∴
BD1
•
AC
=（
BC
+
CD
+
DD1
）•（
AB
+
BC
）
=
BC
•
BC
+
CD
•
AB
=
BC
•
BC
-
AB
•
AB
=|
BC
|2-|
AB
|2
=1-1=0．
∴BD1⊥AC．同理可證BD1⊥AB1，
于是BD1⊥平面ACB1．
（2）設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點(diǎn)M，則
BM
=
1
2
BD
=
1
2
B1D1
，即2
BM
=
B1D1
．
對于空間任意一點(diǎn)O，設(shè)
OB
=b，
OM
=m，
OB1
=b1，
OD1
=d1，
則上述等式可改寫成2（m-b）=d1-b1或b1+2m=d1+2b．記
b1+2m
1+2
=
d1+2b
1+2
=e．
此即表明，由e向量所對應(yīng)的點(diǎn)E分線段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，
所以點(diǎn)E既在線段B1M（B1M?面ACB1）上又在線段D1B上，
所以點(diǎn)E是D1B與平面ACB1之交點(diǎn)，此交點(diǎn)E將D1B分成2與1之比，
即D1E：EB=2：1．∴BE=
1
2
ED1．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力，是中檔題．
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其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

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