Question

已知f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a，a為實常數(shù)．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若f（x）在[-

π

6

， 

π

3

]上最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用降冪公式（逆用二倍角余弦公式），結(jié)合輔助角公式，我們可將函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進而根據(jù)T=

2π

ω

，即可求出f（x）的最小正周期；
（II）由（I）中函數(shù)的解析式，我們易分析出函數(shù)f（x）在[-

π

6

， 

π

3

]上的最大值和最小值（含參數(shù)a），進而根據(jù)f（x）在[-

π

6

， 

π

3

]上最大值與最小值之和為3，構(gòu)造出含a的方程，解方程即可求出a的值．

解答：解：（I）f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a
所以f（x）的最小正周期T=π；                 …（5分）
（II）∵x∈[-

π

6

， 

π

3

]，則 2x+

π

6

∈[-

π

6

， 

5π

6

]∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

， 1]
所以f（x）是最大值為3+a，最小值為a
依題意有：3+2a=3，∴a=0…（10分）

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域和值域，其中利用降冪公式（逆用二倍角余弦公式），結(jié)合輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．