如圖,在四棱錐中,⊥底面,四邊形是直角梯形,⊥,∥,,.

(1)求證:平面⊥平面；
(2)求點(diǎn)C到平面的距離；
(3)求PC與平面PAD所成的角的正弦值。

（1）見解析；（2）；（3）。

解析試題分析：（1）平面，需證BC⊥平面PAB, 由⊥底面得PA⊥BC,又已知⊥,
故問題得證；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法，；（3）根據(jù)線面角的定義，求出點(diǎn)C到平面PAD的距離、線段的長度，即可求出PC與平面PAD所成的角的正弦值。 
試題解析：(1)∵PA⊥平面ABCD, BC Ì平面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB,
∵BC Ì平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PAB 
(2), ∵
,
設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為,∵，
∴,∴
由(2)知, ,又,∴
連接AC交BD于E,,
由相似形可得,點(diǎn)C到平面PAD的距離=,,
∴PC與平面PAD所成的角的正弦值是。      
考點(diǎn)：（1）空間線面平垂直、面面平垂直判定定理的應(yīng)用；（2）空間線面角的定義及求法；（3）空間點(diǎn)面距離概念與求法。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)．

（1）證明：面面；
（2）求與所成的角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正方體中，、分別為,中點(diǎn)。
（1）求異面直線與所成角的大小;
（2）求證：平面。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱柱中,已知平面平面且,.
(1)求證:
(2)若為棱上的一點(diǎn),且平面,求線段的長度

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
(2)求cos∠COD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，BC＝1，AA1＝.
(1)求證：BC1∥平面A1CD；
(2)求三棱錐D－A1B1C的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，
，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

（如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PD=a，則它的5個面中，互相垂直的面有         對.

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