Question

甲、乙、丙三人進(jìn)行象棋比賽，每?jī)扇吮荣愐粓?chǎng)，共賽三場(chǎng)．每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為

2

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

5

．
（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率；
（2）設(shè)在該次比賽中，甲得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）甲獲第一表示甲勝乙且甲勝丙，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．丙獲第表示丙勝乙，根據(jù)對(duì)立事件的概率知概率，甲獲第一名且丙獲第二名的概率根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知ξ可能取的值為O、3、6，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，
∴甲獲第一的概率為

2

3

×

1

4

=

1

6

丙獲第二，則丙勝乙，其概率為1-

1

5

=

4

5

∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率為

1

6

×

4

5

=

2

15

（2）ξ可能取的值為O、3、6
甲兩場(chǎng)比賽皆輸?shù)母怕蕿镻（ξ=0）=

1

3

×

3

4

=

1

4

甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)的概率為P(ξ=3)=

2

3

×(1-

1

4

)+

1

4

×(1-

2

3

)=

7

12

甲兩場(chǎng)皆勝的概率為P(ξ=6)=

2

3

×

1

4

=

1

6

∴ξ的分布列是

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

∴ξ的期望值是Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率和對(duì)立事件的概率，本題是一個(gè)近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，考的機(jī)會(huì)非常大．