Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x-1．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（3）說明y=f（x）的圖象是如何由函數(shù)y=sinx的圖象變換所得．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：化簡可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），
（1）代值計算可得f（

π

3

）=2；
（2）由周期公式可得周期為π，解不等式2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由函數(shù)圖象變換的原則可得．

解答： 解：化簡可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x-1
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-cos2x
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
（1）代值可得f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

-

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）由周期公式可得f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（3）把函數(shù)y=sinx的圖象上每一點的向右平移

π

6

個單位，
再把所得圖象上的每一點的橫坐標縮短到原來的

1

2

（縱坐標不變），
再把所得圖象上的每一點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），
就得到函數(shù)y=f（x）的圖象．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及圖象變換，屬基礎題．