Question

已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，1]時，．
（1）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，1]上是減函數(shù)；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）定義在R上的奇函數(shù)f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時f（x）的解析式，x=-1和1時，同時結(jié)合奇偶性和單調(diào)性求解．
（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，作差，變形，判號，得出結(jié)論四步，
（3）將b表示為x的函數(shù)，利用單調(diào)性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實數(shù)b的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=
由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=，
（2）證明當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴＞0，-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上單調(diào)遞減；
∴f（x）-x的值域為 ，
∴實數(shù)b的取值范圍為．
點評：本題考查復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性證明以及利用函數(shù)的奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式，思路簡單，運算變形較繁，是一道提高答題者耐心的好題．屬中檔題．