Question

1．已知函數(shù)$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{6}）$（$0≤x≤\frac{91π}{6}$），若函數(shù)F（x）=f（x）-3的所有零點(diǎn)依次記為x₁，x₂，x₃，…，x_n，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n，則x₁+2x₂+2x₃+…+2x_n-1+x_n=445π．

Answer 1

分析 求出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)f（x）的對(duì)稱(chēng)性得出任意兩相鄰兩零點(diǎn)的和，從而得出答案．

解答 解：令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，即f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期為T(mén)=π，$0≤x≤\frac{91π}{6}$，
∴f（x）在（0，$\frac{91π}{6}$）上有30條對(duì)稱(chēng)軸，
∴x₁+x₂=2×$\frac{π}{6}$，x₂+x₃=2×$\frac{2π}{3}$，x₃+x₄=2×$\frac{7π}{6}$，…，x_n-1+x_n=2×$\frac{44π}{3}$，
將以上各式相加得：x₁+2x₂+2x₃+…+2x_n-1+x_n=2×（$\frac{π}{6}$+$\frac{2π}{3}$+$\frac{7π}{6}$+…+$\frac{44π}{3}$）=2×$\frac{\frac{π}{6}+\frac{44π}{3}}{2}$×30=445π．
故答案為：445π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于中檔題．