Question

5．若函數(shù)y=a^x-2+1（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn) P（m，n），且過(guò)點(diǎn)Q（m-1，n）的直線l被圓C：x²+y²+2x-2y-7=0截得的弦長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$，則直線l的斜率為-1或-7．

Answer 1

分析 由題意，P（2，2），Q（1，2），設(shè)l：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，由弦長(zhǎng)及半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線l的距離d，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即為直線l的斜率．

解答 解：由題意，P（2，2），Q（1，2），設(shè)l：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
圓C：x²+y²+2x-2y-7=0可化為（x+1）²+（y-1）²=9，
圓心C（-1，1）到l的距離d=$\frac{|-k-1+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}\sqrt{2}）^{2}}$，
∴k²+8k+7=0，k=-1或-7．
故答案為：-1或-7．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線的點(diǎn)斜式方程，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造至直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．