Question

17．直線x-2y+3=0與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，B兩點(diǎn)，且P（-1，1）恰好為AB中點(diǎn)，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于x的一元二次方程；設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；從而得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，得出a、c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，
消去x，得（4b²+a²）x²-12b²x+9b²-a²b²=0，
△=144b⁴-4（a²+4b²）（9b²-a²b²）＞0⇒a²+4b²＞9，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{12^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$，
∵線段AB的中點(diǎn)為（-1，1），
∴$\frac{12^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$=2，于是得a²=2b²，
又a²=b²+c²，∴a²=2c²，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計(jì)算能力．解題時(shí)應(yīng)細(xì)心解答．