Question

給出以下命題：
①不等式|2x-1|＞3的解集是{x|x＞2}；
②若直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)（a，b）一定在圓x²+y²=4外；
③“?x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，則1＜a＜9；
④某人向一個(gè)圓內(nèi)投鏢，則鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為

3 3

4π

．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①解出不等式|2x-1|＞3的解集為{x|x＞2或x＜-1}．②因?yàn)橹本�ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，計(jì)算出圓心到直線的距離并且與半徑比較大小，進(jìn)而整理可得a²+b²＜4，所以點(diǎn)（a，b）一定在圓x²+y²=4內(nèi)．③由題意可得不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，即1＜a＜9．④設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接正三角形的邊長為a，則a=

3

r，分別計(jì)算出三角形與圓的面積，再根據(jù)幾何概率模型可得④正確．

解答：解：①因?yàn)椴坏仁綖閨2x-1|＞3，所以2x-1＞3或2x-1＜-3，解得x＞2或x＜-1，所以原不等式的解集為{x|x＞2或x＜-1}．所以①錯(cuò)誤．
②因?yàn)橹本�ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離d=

4

a2+b2

＞2=r，整理可得a²+b²＜4，所以點(diǎn)（a，b）一定在圓x²+y²=4內(nèi)，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)椤?x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，所以不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，即1＜a＜9，所以③正確．
④設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接正三角形的邊長為a，則a=

3

r，所以內(nèi)接正三角形的面積為

3 3 r2

4

，圓的面積為πr²，根據(jù)幾何概率模型可得所以鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為

3 3

4π

，所以④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，即解含絕對(duì)值的不等式，恒成立問題，存在性命題與幾何概率模型等知識(shí)點(diǎn)．