橢圓C的中心在原點O，它的短軸長為，相應的焦點的準線了l與x軸相交于A，|OF1|=2|F1A|.

(1)求橢圓的方程；

(2)過橢圓C的左焦點作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點，若點M在軸上，且使MF2為的一條角平分線，則稱點M為橢圓的“左特征點”，求橢圓C的左特征點；

(3)根據(jù)(2)中的結論，猜測橢圓的“左特征點”的位置．

 

【答案】

(1)  (2)  (3) 左準線與軸的交點

【解析】本試題主要是運用橢圓的幾何性質得到橢圓方程，然后結合新定義得到直線與 橢圓的方程聯(lián)立，結合韋達定理表示，然后得到左特征點。同時利用橢圓的準線返程的得到交點，進而猜測左特征點。

（1）由條件知，可設橢圓方程為

又

（2）)設左特征點為，左焦點為，

可設直線的方程為

聯(lián)立直線與橢圓方程的得到關系式，進而得到韋達定理，利用角平分線的性質得到結論。

（3）因為橢圓的左準線與軸的交點為，

故猜測橢圓的左特征點為左準線與軸的交點。

解：（1）由條件知，可設橢圓方程為

又

橢圓方程為   …………4分

(2)設左特征點為，左焦點為，

可設直線的方程為

由與，消去得

又設，則

      ①     

         　　�、�                …………6分

因為為的角平分線，所以，即

       ③

將與代入③化簡，得     

   ④

   

再將①②代入④得       

 即左特征點為                      …………10分

（3）因為橢圓的左準線與軸的交點為，

故猜測橢圓的左特征點為左準線與軸的交點． …………12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江門一模）已知橢圓C的中心在原點O，離心率e=
3
2
，右焦點為F(
3
，0)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓的上頂點為A，在橢圓C上是否存在點P，使得向量
OP
+
OA
與
FA
共線？若存在，求直線AP的方程；若不存在，簡要說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為
2
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為
6
4
的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C與點P，設
OP
=t
OE
，求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸，它的短軸長為2，過焦點與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過定點N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點，交y軸于點P，若
PC
=λ 1
CN
，
PD
=λ2
DN
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆重慶市“名校聯(lián)盟”高二第一次聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸

長的2倍，且經(jīng)過點M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢

圓C于A、B兩個不同點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求的取值范圍；

y
 
（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.

 

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