Question

在空間中，若射線(xiàn)OA、OB、OC兩兩所成角都為

π

3

，則直線(xiàn)OA與平面OBC所成角的大小為

arccos

3

3

．

Answer 1

分析：從同一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線(xiàn)兩兩成60°，所以可構(gòu)造正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為a，因?yàn)槿�棱錐從同一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線(xiàn)兩兩成60°，所有側(cè)棱長(zhǎng)都應(yīng)為a，且OA在底面OBC內(nèi)的射影應(yīng)在底面OBC中∠BOC的角平分線(xiàn)上，點(diǎn)A在底面內(nèi)的投影點(diǎn)也應(yīng)為底面正三角形的中心，這樣就可以在直角三角形中求解直線(xiàn)OA與平面OBC所成角．

解答：解：由題意作出正四面體A-OBC，不妨設(shè)棱長(zhǎng)為a，作AH⊥平面OBC，垂足為H，連接OH
∴H為底面三角形的中心，∠AOH為直線(xiàn)OA與平面OBC所成角
∵射線(xiàn)OA、OB、OC兩兩所成角都為

π

3

，
∴OA在底面的射影為∠BOC的角平分線(xiàn)即為OH，且OH=

3

3

a
在直角三角形OAH中，cos∠AOH=

3

3

，
∴∠AOH=arccos

3

3

，
故答案為：arccos

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：研究直線(xiàn)與平面所成的線(xiàn)面角，必須正確作出線(xiàn)面角，應(yīng)充分利用圖形的特殊性，這是解這道題的關(guān)鍵所在．