Question

【題目】設等比數(shù)列的前項和為；數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）①試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

②在①結論下，若對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，得到一個新數(shù)列,設是數(shù)列的前項和，試求滿足的所有正整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）求出數(shù)列的首項和公比，即可求數(shù)列的通項公式；（2）①求出數(shù)列的前幾項，根據等差數(shù)列的性質建立方程即可求出；②討論的取值，根據的關系進行求解即可．

詳解：（1）當時，，，

則公比，則

（2）①當時，得 時，得；時，得，

則由，得．

而當時，由得．

由，知此時數(shù)列為等差數(shù)列．

②由題意知，

則當時，，不合題意，舍去；

當時，，所以成立；

當時，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項，

則：

又，所以 ，

即，所以

因為為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以上式無解．

即當時，

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有．