Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+e^-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），其導函數(shù)為f′（x），有下列四個結(jié)論：
①f′（x）的圖象關于原點對稱；　　　　　　�、趂′（x）在R上不是增函數(shù)；
③f′（|x|）的圖象關于y軸對稱；　　　　　　 ④f′（|x|）的最小值為0
其中正確的結(jié)論是________（填寫正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

①③④
分析：①先求導，再利用奇函數(shù)的定義即可判斷出是否是奇函數(shù)；
②對f′（x）求導，再進行判斷即可；
③利用奇偶性的定義進行判斷即可；
④通過換元求導即可得出．
解答：①∵函數(shù)f（x）=e^x+e^-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），∴f^′（x）=e^x-e^-x．
∴f^′（-x）=e^-x-e^x=-f^′（x），∴導函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，∴①正確；
②∵[f^′（x）]^′=e^x+e^-x＞0，∴f′（x）在R上是增函數(shù)，故②不正確；
③∵f^′（|x|）=f^′（|-x|），∴f^′（|x|）是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱；
④∵f^′（|x|）=e^|x|-e^-|x|，e^|x|≥e⁰=1．
令e^|x|=t≥1，則f^′（|x|）=g（t）=（t≥1）．
∵，∴函數(shù)g（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f^′（|x|）=g（t）≥g（1）=0，故f′（|x|）的最小值為0，即④正確．
綜上可知：只有①③④正確．
故答案為①③④．
點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．