Question

定義：設函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)可導，f'（x）為f（x）的導數(shù)，f''（x）為f'（x）的導數(shù)即f（x）的二階導數(shù)，若函數(shù)y=f（x） 在（a，b）內(nèi)的二階導數(shù)恒大于等于0，則稱函數(shù)y=f（x）是（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)（有時亦稱為凹函數(shù)）．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）證明函數(shù)f（x）=xlnx是定義域內(nèi)的下凸函數(shù)，并在所給直角坐標系中畫出函數(shù)f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據(jù)所畫下凸函數(shù)f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N （n）表示n的最大奇因數(shù)．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若，證明：（i，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），f'（x）=1+lnx，，由此能夠證明函數(shù)f（x）=xlnx是定義域（0，+∞）內(nèi)的下凸函數(shù)，并作出其圖象．
（2）由下凸函數(shù)f（x）=xlnx的圖象特征可知：，故x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]．
（3）由S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），知S（n）=4^n-1+S（n-1），（n≥1），由此得到證明（i，n∈N^*），即證．可以用數(shù)學歸納法進行證明，也可用放縮法進行證明．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），
f'（x）=1+lnx，，
故函數(shù)f（x）=xlnx是定義域（0，+∞）內(nèi)的下凸函數(shù)，…（2分）
函數(shù)f（x）=xlnx在（0，]單調(diào)遞減，在[，+∞）單調(diào)遞增，
且f（）=-，f（1）=0，f（e）=e，…（3分）
故其圖象如下圖所示．…．（4分）
（2）由下凸函數(shù)f（x）=xlnx的圖象特征可知：，
故x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]
≥x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]
（當且僅當x₁=x₂時取=號）…．（6分）
（3）∵S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），
∴S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6]+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1），（n≥1），
∵S₁=N（1），S（1）=2，…（7分）
∴…（8分）
∴，
故證明（i，n∈N^*）
即證…（9分）
（證法一）數(shù)學歸納法
ⅰ）當n=1時，由（2）知命題成立．
ⅱ）假設當n=k（ k∈N^*）時命題成立，
即若，
則…（10分）
當n=k+1時，x₁，x₂，…，，滿足 ．
設，
由（2）得
=
=．
由假設可得 F（x）≥-ln2^k-ln2=-ln2^k+1，命題成立．
所以當 n=k+1時命題成立…（13分）
由�。�，ⅱ）可知，對一切正整數(shù)n∈N^*，命題都成立，
所以 若，則 （i，n∈N^*）．
即有（i，n∈N^*）．   …（14分）
（證法二）若，
那么由（2）可得…（10分）
=…（11分）
=…（12分）
…（13分）
=-ln2ⁿ．
即有（i，n∈N^*）．   …（14分）
點評：本題考查下凸函數(shù)的證明，函數(shù)圖象的畫法，不等式的比較和證明，綜合性強，難度大，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．