【題目】在平面直角坐標(biāo)中,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),.

(1)求證:為定值;

(2)是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的截得的弦長(zhǎng)為定值?如果存在,該直線方程和弦長(zhǎng);如果不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1見解析;2存在平行于軸的定直線被以為直徑的截得的弦長(zhǎng)為定值.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程,與拋物線方程聯(lián)立消去未知數(shù),由根與系數(shù)關(guān)系可得為定值;先設(shè)存在直線滿足條件,求出以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑,利用勾股定理求出弦長(zhǎng)表達(dá)式,由表達(dá)式可知,當(dāng)時(shí),弦長(zhǎng)為定值.

試題解析:(Ⅰ)(解法1)當(dāng)直線垂直于軸時(shí),,

因此定值,

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的方程為

因此有為定值

(解法2)設(shè)直線的方程為

因此有為定值.

設(shè)存在直線滿足條件,則

的中點(diǎn),

因此以為直徑的圓的半徑

點(diǎn)到直線的距離

所以所截弦長(zhǎng)為

當(dāng)時(shí),弦長(zhǎng)為定值2,這時(shí)直線方程為.

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