Question

已知數(shù)列{a_n}滿足的前n項和為S_n，且S_n=(

1

3

)n+n-1，（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的通項公式滿足b_n=n（1-a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列的前n項和，通過S_n-S_n-1=a_n求出數(shù)列的通項公式．
（2）化簡數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=n（1-a_n），利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答： 解：（1）由，Sn=(

1

3

)n+n-1，(n∈N*)
當(dāng)n=1時得a1=S1=

1

3

，當(dāng)n≥2時得an=Sn-Sn-1=1-

2

3n

，
又a1=

1

3

滿足上式，所以：數(shù)列{a_n}的通項公式為an=1-

2

3n

．
（2）由bn=n(1-an)=

2n

3n

．
所以Tn=

2•1

3

+

2•2

32

+

2•3

33

+…+

2n

3n

，
得 

1

3

Tn=

2•1

32

+

2•2

33

+

2•3

34

+…+

2n

3n+1

相減得：

2

3

Tn=2(

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

)
∴Tn=

3

2

-

2n+3

2•3n

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列的和的求法，錯位相減法的應(yīng)用，考查計算能力．