Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，求得 c=0，即f(x)=

ax2+1

bx

．再由f（1）=2、f（2）＜3，a∈N，求得a，b，的值，從而得到a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增．設(shè)x₁＜x₂≤-1，則由f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＜0，從而得到 f（x）
在（-∞，-1]上單調(diào)遞增．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)得：f（-x）+f（x）=0，∴

ax2+1

bx+c

+

ax2+1

-bx+c

=0，∴(ax2+1)

2c

(bx+c)(-bx+C)

=0，
解得 c=0，即f(x)=

ax2+1

bx

．
又f（1）=2，∴2=

a+1

b

  ， 2b=a+1．
又 f（2）＜3，可得

4a+1

2b

＜3，

4a+1

a+1

＜3，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，則b=

1

2

∉N（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增．
下用定義證明：設(shè)x₁＜x₂≤-1，則：f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)，
因?yàn)閤₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．