Question

在△ABC中，已知tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

，若△ABC最長(zhǎng)邊為

5

，則最短邊長(zhǎng)為（　�。�

• A、1
• B、

  5

  2

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

分析：根據(jù)cosB的值及B的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，進(jìn)而求出tanB的值，由tanA的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式表示出tanC，把tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由tanC的值為負(fù)數(shù)及C的范圍得到C為鈍角即最大角即c=

5

，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)及sinC的值，又tanA大于tanB，根據(jù)正切函數(shù)為增函數(shù)，得到B為最小角，b為最小邊，根據(jù)正弦定理，由sinB，sinC及c的值即可求出b的值．

解答：解：由cosB=

3 10

10

，B∈（0，π），得到sinB=

10

10

，
則tanB=

1

3

，又tanA=

1

2

，且C=π-（A+B），
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 3 + 1 2

1- 1 3 × 1 2

=-1，
∵C∈（0，π），∴C為鈍角，則C＞A且C＞B，
∴C=

3π

4

，且c為最大邊，則c=

5

，sinC=

2

2

，
又∵tanA＞tanB，∴A＞B，則B為最小角，b為最小邊，
根據(jù)正弦定理得：

c

sinC

=

b

sinB

，
則b=

csinB

sinC

=

5 × 10 10

2 2

=1．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式及正弦定理化簡(jiǎn)求值，掌握三角形中大邊對(duì)大角，小角對(duì)小邊的性質(zhì)的運(yùn)用，是一道中檔題．