Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S．
（1）求

OA

•

OQ

+S的最大值及此時(shí)θ的值θ₀；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，在（1）的條件下，求tan（α+θ₀）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

OA

•

OQ

=1+cosθ，S=sinθ，進(jìn)而可得

OA

•

OQ

+S=

2

sin(θ+

π

4

)+1，（0＜θ＜π），由三角函數(shù)的最值易得答案；
（2）結(jié)合（1）易得tanθ₀=1，tanα=-

4

3

，代入兩角和的正切公式可得答案．

解答：解：（1）由已知，A、P的坐標(biāo)分別為（1，0）、（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，又S=sinθ，
∴

OA

•

OQ

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，（0＜θ＜π）
故當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，

OA

•

OQ

+S取最大值

2

+1，所以θ₀=

π

4

；
（2）由（1）可知以θ₀=

π

4

，所以tanθ₀=1，
又∵cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，∴tanα=-

4

3

，
∴tan（α+θ₀）=

tanα+tanθ0

1-tanαtanθ0

=

- 4 3 +1

1-(- 4 3 )×1

=-

1

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．