Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求二面角E-AB-D的大�。�
（2）求四面體ABDE的表面積和體積．

Answer 1

分析：（1）先證明∠EBD為二面角E-AB-D的平面角，在Rt△EBD中求出即可；
（2）利用表面積和體積公式求出即可．

解答：（1）在△EBD中，∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=

AB2+AD2-2AB•ADcos∠DAB

=2

3

．
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
∵平面EBD⊥平面ABD，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE．
∴∠DBE即為二面角E-AB-D的平面角．
又∵CD⊥BD，∴ED⊥BD，而BD=2

3

，DE=DC=AB=2，
在Rt△BDE中，tan∠EBD=

ED

BD

=

3

3

，∴∠EBD=30°．
∴二面角E-AB-D的平面角為30°．
（2）四面體ABDE的表面積S=S_△ABD+S_△ABE+S_△ADE+S_△BDE=

1

2

×2×2

3

+

1

2

×2×

(2 3 )2+22

+

1

2

×4×2+

1

2

×2

3

×2=8+4

3

．
體積V=

1

3

×S△ABD×ED=

1

3

×2

3

×2=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握余弦定理、線面與面面垂直的判定及性質(zhì)定理、二面角的定義、三棱錐的表面積和體積是解題的關(guān)鍵．