Question

已知橢圓9x²＋2y²＝18上任意一點P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在線段PQ上，且，點M的軌跡為曲線E．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)若過定點F(0，2)的直線l交曲線E于不同的兩點G，H(點G在點F，H之間)，且滿足，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(文)解：(Ⅰ)設點P(x0，y0)，是橢圓上一點，則Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入橢圓方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2為曲線E的方程．　4分 　　(Ⅱ)設G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k 　　則直線GH的方程為：y＝kx＋2，　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　6分 　　 　　　　(2) 　　∴將(1)代入(2)整理得：　9分 　　解得：　11分 　　∴直線l的方程為：y＝x＋2　12分 　　當直線GH斜率不存在時，直線的l方程為x＝0，此時 　　矛盾不合題意． 　　∴所求直線l的方程為：y＝x＋2　14分 　　(理)解：(Ⅰ)設點P(x0，y0)，是橢圓上一點，則Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入橢圓方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2為曲線E的方程．　4分 　　(Ⅱ)設G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k 　　則直線GH的方程為：y＝kx＋2，　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　6分 　　 　　 　　　　(2) 　　∴將(1)代入(2)整理得：　9分 　　 　　又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1　13分 　　當直線GH斜率不存在時，直線GH的方程為 　　∴λ＝ 　　∴所求λ的范圍為≤λ＜1　14分