Question

（2009•閘北區(qū)一模）若不等式|x-1|+|x+2|≥4^a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，log₄3]

．

Answer 1

分析：若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，只需 k小于|x+2|+|x+1|的最小值即可．由絕對值的幾何意義，，求出|x-1|+|x+2|取得最小值3，得4^a≤3求出a的范圍．

解答：解：若不等式|x-1|+|x+2|≥4^a恒成立，
只需 4^a小于等于|x-1|+|x+2|的最小值即可．
由絕對值的幾何意義，|x-1|+|x+2|表示在數軸上點x到1，-2點的距離之和．
當點x在1，-2點之間時（包括-1，-2點），即-2≤x≤1時，，|x-1|+|x+2|取得最小值3，
∴4^a≤3
所以a≤log₄3]
故答案為（-∞，log₄3]

點評：本題考查不等式恒成立問題，本題中注意到|x-1|+|x+2|有明顯的幾何意義，即絕對值的幾何意義，數形結合使問題輕松獲解．