Question

已知函數(shù)f（x）=x³-，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a∈（0，2]，使得對任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）將a=2代入，求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出f′（x）＞0時和f′（x）＜0時的x的取值范圍，進而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出f′（x）＞0時和f′（x）＜0時的x的取值范圍，進而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；若對任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立，則f（x）的最小值大于等于0，最大值小于等于a，分類討論后綜合討論結(jié)果可得答案．
解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³-，
∴f′（x）=3x²-9x+6．…（2分）
令f′（x）=0，則x=1或x=2，
當f′（x）＞0時，x＜1，或x＞2； 當f′（x）＜0時，1＜x＜2，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．        …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³-，
∴f′（x）=3x²-．
f′（x）=0，則x=1或x=（a∈（0，2]），
當f′（x）＞0時，x＜1，或x＞+1；當f′（x）＜0時，1＜x＜+1，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（+1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+1）．  …（9分）
因為f（0）=0，下面分類討論研究當x∈[0，a]時，f（x）最大值與最小值：
（1）當0＜a≤1時，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，
即f（x）的最小值為f（0）=0，最大值為f（a），
只要f（a）≤a成立即可，解得2≤a≤4，所以a不存在．   …（12分）
（2）當1＜a≤2時，即1＜a＜+1，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，a） 單調(diào)遞減，
即f（x）的最小值為f（0）=0或f（a），最大值為f（1），
只要，解得a≥4，所以a也不存在．
綜上所述，滿足條件的實數(shù)a不存在．                         …（15分）
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)及導數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力．熟練掌握導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值時的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．