Question

數列{a_n}中，a_n＞0，且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，滿足a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N），則公比q的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：法1：由{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，設此等比數列的公比為q，利用等比數列的通項公式表示出a_na_n+1的通項，利用得到的通項化簡已知的不等式，根據a_n＞0且q＞0，得到a₁a₂＞0，在不等式左右兩邊同時除以a₁a₂，得出關于公比q的不等式，求出不等式的解集即可得到q的取值范圍；
法2：把n=1代入已知的不等式，得到a₁a₂+a₂a₃＞a₃a₄，由{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，設此等比數列的公比為q，利用等比數列性質化簡后，根據a₁a₂＞0，在不等式左右兩邊同時除以a₁a₂，得出關于公比q的不等式，求出不等式的解集即可得到q的取值范圍．
解答：解：法1：∵{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，
∴設，
不等式可化為，
∵a_n＞0，q＞0，
∴q²-q-1＜0，
解得：；
法2：令n=1，不等式變?yōu)閍₁a₂+a₂a₃＞a₃a₄，
∴，
∵a₁a₂＞0，∴1+q＞q²，
解得：，
故選B
點評：此題考查了等比數列的性質，等比數列的通項公式，以及一元二次不等式的解法，熟練掌握等比數列的性質是解本題的關鍵．