Question

如圖，已知圓G：，定點，M為圓上一動點，P點在TM上，N點在GM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線 E的方程；
（Ⅱ）設曲線E交直線l：y=k（x+1）于A、B兩點，與x軸交于點C，若，若△ABO的面積是，求a值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由=0可得|NM|=|NT|，∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2a，再根據(jù)橢圓的定義可得曲線E的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓的方程再結合根與系數(shù)的關系可得：y₁+y₂=，y₁y₂=，再結合可得y₁=-2y₂，即可求出y2，再利用其表示出三角形的面積，進而求出k的取值，即可得到a的取值．
解答：解：（Ⅰ）∵=0，
∴|NM|=|NT|，
∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2a …2分
∴N 的軌跡是以G（-a，0）為焦點的橢圓，且長軸長為2a，
∴短軸長為，
所以E的方程為：x²+3y²=a²．…4分
（Ⅱ）由=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以由根與系數(shù)的關系可得：y₁+y₂= …①，y₁y₂= …②…6分
∵，
∴y₁=-2y₂ …③
 由①③解得：y₂=- …④…8分
所以S_△= …11分
將k=± 代入②③④解得：a=±
滿足△＞0 …12分
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，解題的關鍵是掌握圓錐曲線的定義，由題設條件判斷出所求的軌跡是橢圓，以及能將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為兩個點的坐標關系，以利于用直線與圓錐曲線的方程研究參數(shù)的取值，本題綜合性強運算較繁雜，做題時要嚴謹認真．