Question

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使得f（x）=x成立，則稱（x₀，x₀）為函數(shù)f（x）圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在，求出范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：函數(shù)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

Answer 1

（1）解：設(shè)函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)，則f（x）==x，即有兩個(gè)相異的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn).

（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.因此（0，0）是f（x）的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點(diǎn)（x₀，x₀），即f（x₀）=x₀，則必定有f（-x₀）=-x₀.這說(shuō)明（-x₀，-x₀）也是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).

綜上所述，奇函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對(duì)出現(xiàn)，因此其穩(wěn)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)是奇數(shù).