Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

2nan+1

（n∈N^*）．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)A=

lim

n→+∞

3an

2an+1

，證明：對任意m≥2，且m∈N^*，都有A∈＞(1+

1

m

)m．

Answer 1

分析：（1）由于a₁=1，a_n+1=

an

2nan+1

，可得

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ，用累加可得

1

an

=2ⁿ-1，從而求得 a_n 的解析式．
（2）利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求得A=3，而(1+

1

m

)m的通項(xiàng)公式 T_r+1≤

1

k!

，可得 (1+

1

m

)m≤

1

0！

+

1

1！

+

1

2！

+

1

3!

+…+

1

m!

 用放縮法、裂項(xiàng)法求得它小于3，
從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）由于a₁=1，a_n+1=

an

2nan+1

，可得

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ，
∴

1

a1

=1，

1

a2

-

1

a1

=2，

1

a3

-

1

a2

=22，

1

a4

-

1

a3

=23，…，

1

an

-

1

an-1

=2n-1，
累加可得

1

an

=1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1，故有a_n=

1

2n-1

．
（2）A=

lim

n→+∞

3an

2an+1

=

lim

n→∞

3(2n+1-1)

2(2n-1)

=

lim

n→∞

3(2- 1 2n )

2(1- 1 2n )

=

3×2

2

=3，
而(1+

1

m

)m的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

k n

•

1

mk

=

m(m-1)(m-2)…(m-k+1)

k!

•

1

mk

≤

1

k!

，
∴(1+

1

m

)m≤

1

0！

+

1

1！

+

1

2！

+

1

3!

+…+

1

m!

 
≤1+1+

1

2×1

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

m(m-1)

=1+1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

m-1

-

1

m

）
=1+1+（1-

1

m

）＜3，
故對任意m≥2，且 m∈N^*，都有A＞(1+

1

m

)m．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞推式，用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式定理、以及裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，用放縮法證明不等式，屬于中檔題．