Question

等比數(shù)列{a_n}同時滿足下列三個條件：
（1）a₁+a₆=11 （2）a3•a4=

32

9

  （3）三個數(shù)

2

3

a2， 

a

2 3

， a4+

4

9

成等差數(shù)列．
試求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a6=a3a4=

32

9

，再由a₁+a₆=11，能求出a₁，a₆，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁+a₆=11，a3•a4=

32

9

，

2

3

a2， 

a

2 3

， a4+

4

9

成等差數(shù)列，
∴由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a6=a3a4=

32

9

，
∴a₁，a₆是方程x2-11x+

32

9

=0的兩個根，
解得a1=

1

3

，a₆=

32

3

或a1=

32

3

，a6=

1

3

，
當(dāng)a1=

1

3

，a₆=

32

3

時，

1

3

×q5=

32

3

，
解得q=2，
∴a_n=

1

3

×2n-1，

2

3

a2+a4+

4

9

=

32

9

，2a32=

32

9

，
∴三個數(shù)

2

3

a2， 

a

2 3

， a4+

4

9

成等差數(shù)列，
故a_n=

1

3

×2n-1．
當(dāng)a1=

32

3

，a₆=

1

3

時，

32

3

q5=

1

3

，解得q=

1

2

，
a_n=

32

3

×(

1

2

)n-1=

1

3

×26-n，

2

3

a2+a4+

4

9

≠2a32，∴不符合題意．
故數(shù)列{an}的通項公式為a_n=

1

3

×2n-1．
∵a1=

1

3

，q=2，
∴S_n=

1 3 ×(1-2n)

1-2

=

1

3

(2n-1)．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和方程思想的合理運(yùn)用．