Question

已知f（x）=a^x-1-1，（a＞1）的反函數(shù)為f^-1（x）．
（1）若函數(shù)y=f-1(2x+

m

x

-4)在區(qū)間（m，+∞）上單增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2在（1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求反函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為u=2x+

m

x

-3在（m，+∞）上單增且恒正，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）令t=log_ax，利用換元法將方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2轉(zhuǎn)化為t²+（2-p）t+3-p=0有兩個(gè)不相等的正數(shù)根t₁，t₂，利用韋達(dá)定理可求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：設(shè)y=a^x-1-1，（a＞1）
則a^x-1=y+1
∴x-1=log_a（y+1）
∴x=1+log_a（y+1）
∴f^-1（x）=1+log_a（x+1）
（1）y=f-1(2x+

m

x

-4)=1+loga(2x+

m

x

-3)，
因?yàn)閍＞1，故題意等價(jià)于u=2x+

m

x

-3在（m，+∞）上單增且恒正，
故必有m＞0
于是u′=2-

m

x2

≥0，x∈(m，+∞)且x=m時(shí)，即2m+

m

m

-3≥0，
解得m∈[1，+∞）；
（2）方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2即（1+log_ax）•（1-p+log_ax）=-2
令t=log_ax，因?yàn)閍＞1，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t＞0
∵x的方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2在（1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴t²+（2-p）t+3-p=0有兩個(gè)不相等的正數(shù)根t₁，t₂，
故

△=(2-p)2-4(3-p)＞0 t1+t2=p-2＞0 t1t2=-p＞0

∴2

2

＜p＜3
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為(2

2

，3)

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．