Question

已知函數(shù) f（x）=ax+1nx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=l處切線的斜率．
（2）設(shè) g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax+1nx（a∈R），知當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)=2+

1

x

，x＞0，由此能求出曲線在x=1處切線的斜率．
（2）由g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），知f（x）_max＜g（x）_max，由此進(jìn)行根據(jù)a的符號進(jìn)行分類討論，能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+1nx（a∈R），
∴當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)=2+

1

x

，x＞0，
∴f′（1）=2+1=3，
故曲線在x=1處切線的斜率為3．
（2）∵g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），
∴f（x）_max＜g（x）_max，
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
∴g（x）_max=2．
當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
∴-1-ln（-a）＜2，
解得a＜-

1

e3

．
故a的取值范圍是（-∞，-

1

e3

）．

點(diǎn)評：本題考查切線的斜率的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．