若函數(shù)f(x)滿足f(x+3)+f(x-3)=2x2-8x+8,f(x+3)-f(x-3)=4(x-2),且f(a-1),1,f(a+1)是一個(gè)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)記Tn=(n＞1,n∈N*),設(shè)g(n)=T2n+1-Tn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式g(n)＞［logm(m-1)］2-恒成立.

解:(1)由得f(x-3)=x2-6x+8,從而f(x)=x2-1.   

∵f(a-1),1,f(a+1)是一個(gè)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng),

∴f(a-1)+f(a+1)=2,

即(a2-2a)+(a2+2a)=2.

解得a=-1或a=1.

若a=-1,則a1=3,a3=-1不合題意.                                               

若a=1,則a1=-1,a3=3.從而數(shù)列{an}的公差為d=2,

an=-1+(n-1)2=2n-3.                                                          

(2)∵Tn=(n＞1,n∈N*),

∴g(n)=T2n+1-Tn+1=.

又g(n+1)-g(n)=

∴g(n+1)＞g(n).∴g(n)是關(guān)于n的增函數(shù).                                       

∴g(n)min=g(2)=.

∴要使一切大于1的自然數(shù)n,不等式?g(n)＞［logm(m-1)］2-恒成立,

只要＞［logm(m-1)］2-成立即可.

由得m＞1且m≠2,

此時(shí)設(shè)［logm(m-1)］2=t,則t＞0,                                               

于是解得0＜t＜1.

由此得0＜［logm(m-1)］2＜1,

解得m＞且m≠2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
12
(1+x2)；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）定義：若存在常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．
（1）試舉出一個(gè)滿足利普希茨（Lipschitz）條件的函數(shù)及常數(shù)k的值，并加以驗(yàn)證；
（2）若函數(shù)f(x)=
x+1
在[1，+∞)上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，求常數(shù)k的最小值；
（3）現(xiàn)有函數(shù)f（x）=sinx，請(qǐng)找出所有的一次函數(shù)g（x），使得下列條件同時(shí)成立：
①函數(shù)g（x）滿足利普希茨（Lipschitz）條件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(
3π
4
)=
2
sin(
3π
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區(qū)間[0，2π）上有且僅有一解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•成都二模）對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若滿足對(duì)?x1，x2∈D，且x1＜x2時(shí)都有 f（x1）≥f（x2），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“非增函數(shù)”．若f（x）為區(qū)間[0，1]上的“非增函數(shù)”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又當(dāng)x∈[0，
1
4
]時(shí)，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命題：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②當(dāng)x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，時(shí)，f（x1）≠f（x）
③f（
1
8
）+f（
5
11
）+f（
7
13
）+f（
7
8
）=2；
④當(dāng)x∈[0，
1
4
]時(shí)，f（f（x））≤f（x）．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為
①③④
①③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2004全國(guó)各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型：013

若函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)，則f(x)的解析式在下列四式中只有可能是

[　　]

A．
B．x＋
C．2－x
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：四川省成都樹(shù)德中學(xué)2012屆高考適應(yīng)考試(一)數(shù)學(xué)試題文理科 題型：022

對(duì)于函數(shù)f(x)，定義：若存在非零常數(shù)M，T，使函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都滿足f(x＋T)－f(x)＝M，則稱函數(shù)y＝f(x)是準(zhǔn)周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)準(zhǔn)周期．如函數(shù)f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π為一個(gè)準(zhǔn)周期且M＝4π的準(zhǔn)周期函數(shù)．下列命題：

①2π是函數(shù)f(x)＝sinx的一個(gè)準(zhǔn)周期；

②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2為一個(gè)準(zhǔn)周期且M＝2的準(zhǔn)周期函數(shù)；

③函數(shù)f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是準(zhǔn)周期函數(shù)；

④如果f(x)是一個(gè)一次函數(shù)與一個(gè)周期函數(shù)的和的形式，則f(x)一定是準(zhǔn)周期函數(shù)；

⑤如果f(x＋1)＝－f(x)則函數(shù)h(x)＝x＋f(x)是以T＝2為一個(gè)準(zhǔn)周期且M＝4的準(zhǔn)周期函數(shù)；其中的真命題是________．

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