Question

如圖所示，在圓錐PO中， PO=,ʘO的直徑AB=2， C為弧AB的中點，D為AC的中點.

(1)求證：平面POD^平面PAC；

(2)求二面角B—PA—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；（2）

【解析】

試題分析：(1)通過證平面PAC內直線AC^平面POD，由平面與平面垂直的判定定理得平面PAC^平面POD；（2）用垂面法作出二面角的平面角，然后在直角三角形中利用邊長求平面角的余弦值.

試題解析：證明：(1)如圖所示，連接OC.

OA=OC,D是AC的中點，\AC^OD，在圓錐PO中，PA=PC，

則AC^PD，又PDÇOD=D，\AC^平面POD,而ACÌ平面PAC,

\平面POD^平面PAC            5分

（2）在平面POD中，過O作OH^PD于H，由（1）知：

平面POD^平面PAC，\OH^平面PAC，過H作HG^PA于G，連OG，則OG^PA（三垂線定理）

\ÐOGH為二面角B—PA—C的平面角，

在RtDODA中，OD=OA×45⁰=.

在RtDPOD中，OH= = =.

在RtDPOA中，OG= = =.

在RtDOHG中，sinÐOGH= = =.

所以，cosÐOGH= = = 

所以，二面角B—PA—C的余弦值為.          10分

考點：1.平面與平面垂直的判定；2.二面角的平面角作法與求法