Question

已知：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1，
tan15°tan25°+tan25°tan50°+tan50°tan15°=1，
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1，…，
（1）分析上面各式的特點，寫出一個能反映此特點的等式（你認為正確的就可以）；
（2）寫出能反映此特點的一般的等式，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意得，式子中共有三個角，最大角與最小角的和與另一個角互余，得到答案為tan5°•tan10°+tan10°•tan75°+tan75°•tan5°=1．
（2）分析上面各式的特點，寫出能反映此特點的一般的等式：tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1  (α+β+γ=

π

2

)

解答：解：解：（1）你認為正確的就可以，
如：tan5°•tan10°+tan10°•tan75°+tan75°•tan5°=1（不唯一）；
（2）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1(α+β+γ=

π

2

)，證明如下：
∵tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα
=tanβ（tanα+tanγ）+tanγtanα
=tanβtan（α+γ）（1-tanαtanγ）+tanγtanα
=（1-tanαtanγ）+tanγtanα
=1．

點評：本題考查類比推理、兩角和的正切公式的變形 tanα+tanβ=tan（α+β ）•（1-tanα•tanβ） 的應用，以及互余的兩個角的正切值等于1．