Question

若函數(shù)f（x）對(duì)定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱．
（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=x²+ax+1，求函數(shù)g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，當(dāng)t＞0時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，0），恒有g(shù)（x）＜f（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入解析式，即可求得m的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，可得g（x）+g（-x）=2，根據(jù)x∈（0，+∞）時(shí)的解析式，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，0），恒有g(shù)（x）＜f（t）成立，等價(jià)于g（x）_max＜f（t）_min，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)，∵函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2
∴m=1…（4分）
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=x²+ax+1，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f(t)=t+

1

t

+1(t＞0)，其最小值為f（1）=3
g(x)=-x2+ax+1=-(x-

a

2

)2+1+

a2

4

，…（10分）
①當(dāng)

a

2

＜0，即a＜0時(shí)，g(x)max=1+

a2

4

＜3，∴a∈(-2

2

，0)…（12分）
②當(dāng)

a

2

≥0，即a≥0時(shí)，g（x）_max＜1＜3，∴a∈[0，+∞）…（13分）
由①、②得a∈(-2

2

，+∞)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)的解析式，考查恒成立問題，正確求出函數(shù)的最值是關(guān)鍵．