Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

．
（1）求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）若A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，

π

2

]，f(x)=

OA

•

OC

-(2m2+

2

3

)•|

AB

|的最小值為

1

2

，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）由條件求得

AB

 和

AC

，可得

AC

=

2

3

•

AB

，從而得到

AC

∥

AB

，即A，B，C三點(diǎn)共線．
（2）先求出

AB

=(sinx，0)，從而求得f（x）=1+sinx+cos2x-(2m2+

2

3

)sinx，由x的范圍求得sinx∈[0，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：∵（1）

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，∴

AC

=

OC

-

OA

=-

2

3

OA

+

2

3

OB

，

AB

=

OB

-

OA

，…（1分）
∴

AC

=

2

3

•

AB

，…（4分）∴

AC

∥

AB

，即A，B，C三點(diǎn)共線．  …（5分）
（2）由A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，

π

2

]，…（6分）
∵

AB

=(sinx，0)，∴|

AB

|=

sin2x

=sinx，…（7分）
∵

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

=（1+

2

3

sinx，cosx），
從而 f(x)=

OA

•

OC

-(2m2+

2

3

)•|

AB

|=1+

2

3

sinx+cos2x-(2m2+

2

3

)sinx 
=-sin²x-2m² sinx+2=-（sinx+m²）²+m⁴+2．…（10分）
又x∈[0，

π

2

]，則t=sinx∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+m²）²+m⁴+2．
由于-m²≤0，∴g（t）=-（t+m²）²+m⁴+2 在[0，1]上是減函數(shù)，
當(dāng)t=1，即x=

π

2

時(shí)，f（x）=g（t）取得最小值為-(1+m2)2+m4+2=

1

2

，解得m=±

1

2

，
綜上，m=±

1

2

． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量共線的條件，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．