設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)且f(1)=-
a2

(1)求證:函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),求|x1-x2|的取值范圍.
分析:(1)由函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)且f(1)=-
a
2
,可得 c=-
3a
2
-b,計(jì)算判別式△大于零,從而得到函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),則 x1+x2 = -
b
a
,x1x2 = 
c
a
,化簡|x1-x2|等于
(
b
a
+2)
2
+2
,從而求得|x1-x2|的取值范圍.
解答:解:(1)證明:由函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)且f(1)=-
a
2
,可得 a+b+c=-
a
2
,即 c=-
3a
2
-b.
故判別式△=b2-4ac=b2-4a(-
3a
2
-b)
=(b+2a)2+2a2>0,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),則 x1+x2 = -
b
a
x1x2 = 
c
a
,
∴|x1-x2|=
x1+x2 )2-4 x1x2 
=
(-
b
a
)
2
-4•
c
a
 
=
b2-4ac
a2
=
b2+4ab+ 6a2
a2
=
(
b
a
)
2
+4•
b
a
+6
=
(
b
a
+2)
2
+2
2

故|x1-x2|的取值范圍為[
2
,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求二次函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.
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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,7),又其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,0),求函數(shù)的解析式,并求f(-2)、f(
12
)的值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+bx-cx,其中a,b,c是△ABC的三條邊,且c>a,c>b,則“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈(1,2),使f(x)=0”( 。

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(2009•楊浦區(qū)一模)(文)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+1-2(a>1)的反函數(shù)為y=f-1(x),則f-1(-1)=
-1
-1

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精英家教網(wǎng)設(shè)函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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