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精英家教網如圖，在三棱錐C-OAB中，OA⊥OB，CB⊥平面OAB，OA=2，OB=4，BC=6，M為AC的中點，求：
（1）直線OM與AB所成角的余弦值；
（2）直線AB與平面OAC所成角的正弦值．
分析：（1）根據所給的圖形，建立坐標系，寫出點的坐標，得到對應的向量，根據兩個向量的夾角的余弦，寫出兩條異面直線的余弦值．
（2）設出平面的法向量，根據法向量與平面上兩條不共線的向量的數量積等于0，得到平面的一個法向量，根據兩個向量之間夾角的余弦值等于線面之間的夾角的正弦值．
解答：解：（1）建立如圖所示的坐標系，有O（0，0，0），A（2，0，0），
B（0，4，0），C（0，4，6），M（1，2，3）
∴
OM
=(1，2，3)，
AB
=(-2，4，0)
∴
OM
•
AB
=-2+8+0=6
∴cos＜
OM
，
AB
＞=
6
14
×2
5
=
3
70
70

（2）設平面OAC的法向量為
m
=(a，b，c)，
則
m
•
OA
=0，
m
•
OC
=0
∴2a=0，
4b+6c=0，
∴
m
=(0，1，-
2
3
)
設直線AB與平面OAC所成的角是θ，
∴sinθ=|cos＜
OM
，
AB
＞=
4
13
9
×2
5
=
6
65
65
點評：本題考查直線與平面所成的角和線面角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把繁瑣的理論證明變換成了數字的運算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC內，∠OPA=45°，∠OPB=60°，則∠OPC的度數為（　�。�
A、30°B、45°C、60°D、75°

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．
（Ⅰ）證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）當k=
1
2
時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？
（注：若△ABC的三點坐標分別為A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3），則該三角形的重心坐標為：(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
，
z1+z2+z3
3
)．）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•四川）如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，點P在平面ABC內的射影O在AB上．
（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成的角的大��；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2
3
，以PA為直徑的球O和PB、PC分別交于B1、C1
（1）求證B1C1∥平面ABC
（2）若二面角C-PB-A的大小為arctan2
3
，試求球O的表面積．

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