Question

若函數(shù)的定義域為R，則b-3a的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-3]
B．[-3，+∞）
C．（-∞，3]
D．[3，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，由根式的意義，可將原題轉(zhuǎn)化為2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1對于任意x∈R恒成立問題，進(jìn)而由指數(shù)的性質(zhì)，可變形為t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立問題，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況討論，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為利用線性規(guī)劃求最值的問題，分析可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，若函數(shù)的定義域為R，
則2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1對于任意x∈R恒成立，
令t=（a-1）x²+bx+（a-1），
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可轉(zhuǎn)化為t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，必有
①當(dāng)a=1時，b=0，則b-3a=-3，
②當(dāng)a≠1時，有同時成立，
即成立，
設(shè)Z=b-3a，
Z是直線b=3a+t經(jīng)過確定的平面上的一點時在y軸上的截距，
由線性規(guī)劃的知識可得，Z＜3，
綜合①可得，Z=b-3a≤3，
故b-3a的取值范圍是（-∞，-3]，
故選A．
點評：本題是綜合題，涉及知識點較多，有一定的難度，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求Z=b-3a的范圍．