Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意，利用函數(shù)極值的概及求解過程即可；
（II）由題意若對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)在定義域下的最值．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+4x+1
令f′（x）=0解得x₁=-1或x₂=-

1

3

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：

∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值為-4
當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，f（x）取得極小值為-

112

27

；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，
x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x²+（4-2a）x
令{F^'}（x）=0，解得x=0，x=

2a-4

3

∵a＞2，
∴當(dāng)0＜x＜

2a-4

3

時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0
當(dāng)x＞

2a-4

3

時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(x)min=F(

2a-4

3

)≥0
即(

2a-4

3

)3+(2-a)(

2a-4

3

)2+4≥0
解得a≤5，
∴2＜a≤5
當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）=4成立
故綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈（2，5]．

點(diǎn)評：（I）此問考查了利用導(dǎo)函數(shù)求定義域下的極值，還考查了函數(shù)極值的求法及定義；
（II）此問重點(diǎn)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，把所求的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下求最值，令最小值還大于等于0這一思想．